El laboratorio de Sacrix: 1/12/07

Equivalencia sistema inercial y las Leyes de Newton

En el marco de la mecánica newtoniana puede comprobarse que en un sistema aislado e inercial se cumple que la suma de todos sus momentos lineales de las partículas permanece constante con el tiempo:

$\sum_i \vec{p}_i = \mbox{constante}$

Definimos el momento lineal de una partícula como el producto de su masa, por su velocidad, respecto a un sistema de referencia dado:

$\vec{p}_i = m \vec{v}_i$

En mecánica newtoniana los sistemas inerciales son aquellos que verifican las leyes de Newton, en un sistema no inercial las leyes de Newton no se cumplen a menos que se introduzcan las llama

das fuerzas ficticias.

Sistemas inerciales en mecánica relativista

En Teoría de la Relatividad Especial un sistema se llama inercial a un sistema de coordenadas en el que la métrica del espacio-tiempo puede expresarse como:

$g = - c^2dt \otimes dt + dx \otimes dx +dy \otimes dy +dz \otimes dz$

Puede probarse que el conjunto de sistemas inerciales forma una grupo decaparamétrico que incluye las traslaciones y las rotaciones. En todos los sistemas en que la métrica toma la forma anterior las leyes fundamentales de la física una misma simplificada, cuyo límite clásico coincide con las de la mecánica newtoniana. En un sistema de referencia inercial relativista la ecuación del movimiento de una partícula puede expresarse como:

$m\frac{d^2 x^i}{d\tau^2} = \sum_j F_{real,j}^i$

Donde $\tau \,$ es el tiempo propio y $(x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,x,y,z) \,$ las coordenadas espacio-temporales y las fuerzas que aparecen en el miembro de la izquierda son fuerzas reales y por tanto están causadas por la interacción con el campo creado por otras partículas.

En cambio en un sistema de referencia no-inercial que use las coordenadas generalizadas no incerciales $(\bar{x}^0,\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3)$ la ecuación del movimiento expresada en términos de los símbolos de Christoffel viene dada por la ecuación más compleja:

$m\frac{d^2\bar{x}^i}{d\tau^2} + m\Gamma_{jk}^i \frac{d\bar{x}^j}{d\tau}\frac{d\bar{x}^k}{d\tau} = \sum_j \bar{F}_{real,j}^i$

En donde se ha usado el convenio de sumación de Einstein sobre índices repetidos. A partir de la ecuación anterior tenemos que la resultante de las fuerzas ficticias en relatividad, que normalmente depende de las velocidades viene dadas por:

$\bar{F}_{fict}^i = -m\Gamma_{jk}^i \frac{d\bar{x}^j}{d\tau}\frac{d\bar{x}^k}{d\tau}$

En Teoría general de la relatividad en principio no es posible encontrar sistemas de referencia inerciales en el sentido anterior, debido a que la curvatura del espacio-tiempo no es idénticamente nula. Sin embargo, siempre es posible anular en al menos un punto las fuerzas ficticias recurriendo a un sistema de coordenadas en el que los símbolos de Christoffel se anulen en el punto

CONCLUSION:
INERCIA, TE ODIAMOS